June 23, 2004.

Нет, речь пойдет не о монстре Borcherds'а-Griess'а-Fischer'а (о котором можно прочесть в замечательной рубрике What Is? в Notices AMS), а о монстре совсем другого рода.

Когда-то на заре XX века Tarski поспекулировал на тему о том каковы могут быть бесконечные группы, все подгруппы которых устроены максимально просто. Как может быть максимально просто? Ну, скажем, абелевы. Или еще лучше (то бишь проще) - циклические конечного порядка. А еще лучше - цикличекие фиксированного простого порядка.

Такие гипотетические группы были с тех пор прозваны монстрами Тарского.

Монстры перестали быть гипотетическими, когда, кажется, в начале 80-х, независимо Рипс и Ольшанский построили примеры монстров.

Рипс, увы, как у него принято, ничего не опубликовал, а Ольшанский развил это дело в целую налаженную индустрию, строя один за другим захватывающие дыхание все более монстровидные и монстровидные примеры бесконечных групп, и написав об этом книжку.

Наука это очень сложная и вычислительная, основанная на геометрически-мотивированных манипуляциях с образующими и определяющими соотношениями, и это совсем другая история.

А теперь, как это неизбежно рано или поздно случается, зададим тот же теоретико-групповой вопрос для алгебр Ли: а каковы бесконечномерные алгебры Ли, все подалгебры которых устроены максимально просто?

В Ли-алгебраическом случае "максимально просто" может, опять же, означать абелевы, ну а конечно совсем замечательно было бы если б они все были одномерными - то есть решетка подалгебр будет совпадать с решеткой одномерных пространств - проще уж некуда.

Вот и обзовем такие гипотетические алгебры Ли монстрами.

Такие вопросы обычно для алгебр Ли более просты чем для групп. Однако существование Ли-монстров по сей день остается загадкой (хочется добавить: будоражущей умы человечества. Ну так не чтоб очень. Хотя вроде неглупые люди пытались ее решить).

Ну раз загадка - то с какой стати мы сразу бросаемся в бесконечномерный случай, начнем с конечномерных алгебр. Если конечномерные над алгебраически замкнутым полем - то все решается очень быстро (почти как для конечных групп): для некоторого нецентрального элемента x алгебры рассмотрим ненулевое собственное значение ad(x), и получим двумерную неабелеву подалгебру. А если таких значений нет, то все элементы нильпотентны, тогда и алгебра нильпотентна, и легко видеть что она должна быть трехмерной.

Над алгебраически незамкнутым полем все усложняется (рассмотрим, скажем, su(2) над R), и начинает уходить в сплошную не-Ли-алгебраическую метафизику, типа групп Брауера. Но это совсем другая история. Так что пусть наш монстр будет бесконечномерным, и кстати поле какое угодно - хоть C.

Задачка отчасти привлекательна тем, что ничего особенно не зная и не понимая, можно с ходу надоказывать кучу простых фактов о монстрах. Отметим один: свободная алгебра Ли вкладывается в некоторое ультрапроизведение монстра. Или вот еще: для любого n монстр обладает заданием образующими и определяющими соотношениями, для которого все степени нетривиальных соотношений больше n. (Это последнее связано с понятием girth, которое недавно начало осваиваться для групп - но это уже другая история). Ну уж и совсем простое, типа об алгебраических элементах, буде таковые имеются, центализаторах-нормализаторах разных подпространств, и проч., и проч.

Как из этого сборища фактов получить противоречие, либо извлечь пример - непонятно.